MATERI TRIGONOMETRI

MAT. 09. Trigonometri 1
MAT. 09. Trigonometri 2
Trigonometri
SUDUT SIN COS TAN
00 0 1 0
300
2
1
2
1
3
3
1
3
450
2
1 2
2
1 2 1
600
2
1
3
2
1
3
900 1 0 ?
BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM
DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN
DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
2004
Kode MAT.09
MAT. 09. Trigonometri 3
Trigonometri
Penyusun:
Drs. Mega Teguh B., M.Pd.
Editor:
Dr. Manuharawati, MSi.
Dra. Kusrini, M.Pd.
Kode MAT.09
BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM
DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN
DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
2004
MAT. 09. Trigonometri 4
Kata Pengantar
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas
karunia dan hidayah-Nya, kami dapat menyusun bahan ajar modul manual
untuk SMK Bidang Adaptif, yakni mata pelajaran Fisika, Kimia dan
Matematika. Modul yang disusun ini menggunakan pendekatan pembelajaran
berdasarkan kompetensi, sebagai konsekuensi logis dari Kurikulum SMK Edisi
2004 yang menggunakan pendekatan kompetensi (CBT: Competency Based
Training).
Sumber dan bahan ajar pokok Kurikulum SMK Edisi 2004 adalah modul,
baik modul manual maupun interaktif dengan mengacu pada Standar
Kompetensi Nasional (SKN) atau standarisasi pada dunia kerja dan industri.
Dengan modul ini, diharapkan digunakan sebagai sumber belajar pokok oleh
peserta diklat untuk mencapai kompetensi kerja standar yang diharapkan
dunia kerja dan industri.
Modul ini disusun melalui beberapa tahapan proses, yakni mulai dari
penyiapan materi modul, penyusunan naskah secara tertulis, kemudian
disetting dengan bantuan alat-alat komputer, serta divalidasi dan diujicobakan
empirik secara terbatas. Validasi dilakukan dengan teknik telaah ahli (expertjudgment),
sementara ujicoba empirik dilakukan pada beberapa peserta
diklat SMK. Harapannya, modul yang telah disusun ini merupakan bahan dan
sumber belajar yang berbobot untuk membekali peserta diklat kompetensi
kerja yang diharapkan. Namun demikian, karena dinamika perubahan sain
dan teknologi di industri begitu cepat terjadi, maka modul ini masih akan
selalu dimintakan masukan untuk bahan perbaikan atau direvisi agar supaya
selalu relevan dengan kondisi lapangan.
Pekerjaan berat ini dapat terselesaikan, tentu dengan banyaknya
dukungan dan bantuan dari berbagai pihak yang perlu diberikan penghargaan
dan ucapan terima kasih. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini tidak
MAT. 09. Trigonometri 5
berlebihan bilamana disampaikan rasa terima kasih dan penghargaan yang
sebesar-besarnya kepada berbagai pihak, terutama tim penyusun modul
(penulis, editor, tenaga komputerisasi modul, tenaga ahli desain grafis) atas
dedikasi, pengorbanan waktu, tenaga, dan pikiran untuk menyelesaikan
penyusunan modul ini.
Kami mengharapkan saran dan kritik dari para pakar di bidang
psikologi, praktisi dunia usaha dan industri, dan pakar akademik sebagai
bahan untuk melakukan peningkatan kualitas modul. Diharapkan para
pemakai berpegang pada azas keterlaksanaan, kesesuaian dan fleksibilitas,
dengan mengacu pada perkembangan IPTEK pada dunia usaha dan industri
dan potensi SMK dan dukungan dunia usaha industri dalam rangka membekali
kompetensi yang terstandar pada peserta diklat.
Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua,
khususnya peserta diklat SMK Bidang Adaptif untuk mata pelajaran
Matematika, Fisika, Kimia, atau praktisi yang sedang mengembangkan modul
pembelajaran untuk SMK.
Jakarta, Desember 2004
a. n. Direktur Jenderal Pendidikan
Dasar dan Menengah
Direktur Pendidikan Menengah Kejuruan,
Dr. Ir. Gatot Hari Priowirjanto, M. Sc.
NIP 130 675 814
MAT. 09. Trigonometri 6
DAFTAR ISI
? Halaman Sampul.......................................................................... 1
? Halaman Francis .......................................................................... 2
? Kata Pengantar ............................................................................ 3
? Daftar Isi …… .............................................................................. 5
? Peta Kedudukan Modul.................................................................. 7
? Daftar Judul Modul ...................................................................... 8
? Glosary ……................................................................................ 9
I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi ............................................................................... 10
B. Prasyarat ............................................................................... 10
C. Petunjuk Penggunaan Modul..................................................... 10
D. Tujuan Akhir ........................................................................... 10
E. Kompetensi............................................................................. 11
F. Cek Kemampuan ..................................................................... 12
II. PEMBELAJARAN
A. Rencana Belajar Peserta Diklat .................................................. 14
B. Kegiatan Belajar ...................................................................... 15
1. Kegiatan Belajar 1............................................................... 16
a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran ........................................ 16
b. Uraian Materi................................................................. 16
c. Rangkuman................................................................... 36
d. Tugas........................................................................... 37
e. Kunci Jawaban Tugas ..................................................... 38
f. Tes Formatif.................................................................. 40
g. Kunci Jawaban Formatif .................................................. 41
2. Kegiatan Belajar 2 .............................................................. 19
a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran ........................................ 19
b. Uraian Materi................................................................. 19
c. Rangkuman................................................................... 31
d. Tugas........................................................................... 32
e. Tes Formatif.................................................................. 33
f. Kunci Jawaban Formatif .................................................. 34
MAT. 09. Trigonometri 7
3. Kegiatan Belajar 2 .............................................................. 44
a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran ........................................ 44
b. Uraian Materi................................................................. 44
c. Rangkuman................................................................... 64
d. Tugas........................................................................... 65
e. Kunci Jawaban Tugas ..................................................... 65
f. Tes Formatif.................................................................. 67
g. Kunci Jawaban Formatif .................................................. 68
III. EVALUASI ............................................................................... 71
KUNCI EVALUASI ...................................................................... 72
IV. PENUTUP ............................................................................... 75
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................. 76
MAT. 09. Trigonometri 8
PETA KEDUDUKAN MODUL
MAT.10
MAT.15
MAT.01
MAT.02 MAT.03
MAT.05
MAT.07 MAT.08 MAT.09
MAT.11 MAT.12 MAT.14
MAT.06
MAT.04
MAT.13
MAT.16
MAT. 09. Trigonometri 9
Daftar Judul Modul
No. Kode Modul Judul Modul
1 MAT.01 Matrik
2 MAT.02 Logika Matematika
3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan
4 MAT.04 Geometri Dimensi Dua
5 MAT.05 Relasi Dan Fungsi
6 MAT.06 Geometri Dimensi Tiga
7 MAT.07 Peluang
8 MAT.08 Bilangan Real
9 MAT.09 Trigonometri
10 MAT.10 Irisan Kerucut
11 MAT.11 Statistika
12 MAT.12 Barisan
13 MAT.13 Aproksimasi Kesalahan
14 MAT.14 ProgramLinier
15 MAT.15 Vektor
16 MAT.16 Matematika Keuangan
MAT. 09. Trigonometri 10
Glossary
ISTILAH KETERANGAN
Trigonometri Metode dalam perhitungan untuk menyelesaikan
masalah yang berkaitan dengan perbandinganperbandingan
pada bangun geometri, khususnya
dalam bangun yang berbentuk segitiga.
Trigonometri Merupakan salah satu ilmu yang berhubungan
dengan besar sudut, dimana bermanfaat untuk
menghitung ketinggian suatu tempat tanpa
mengukur secara langsung sehingga bersifat lebih
praktis dan efisien.
Trigonometri Cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang
perbandingan ukuran sisi suatu segitiga apabila
ditinjau dari salah satu sudut yang terdapat pada
segitiga tersebut.
Perbandingan sinus dari
sudut ? ditulis sin ? CF
CD
=
CG
CE
=
CA
CF
=
CB
CG
?
CE
CD
=
CG
CF
=
CB
CA
=
sisi miring segitiga
sisi siku ? siku di depan sudut ?
Perbandingan cosinus dari
sudut ? ditulis cos ? CF
CD
=
CG
CE
=
FG
DE
=
AB
FG
?
CE
DC
=
CG
CF
=
CB
AB
=
sisimiring segitiga
sisi siku ? sikudi samping sudut ?
Perbandingan tangen dari
sudut ? ditulis tan ? CE
CD
=
FG
CF
=
CB
CA
=
sisi miring segitiga
sisi siku ? siku di depan sudut?
Koordinat cartesius Suatu sistem koordinat yang menggunakan dua garis
lurus yang saling tegak lurus dan berarah dalam
menentukan kedudukan suatu titik pada bidang. Di
mana dua garis yang dimaksud adalah sumbu X dan
sumbu Y, serta perpotongan kedua titik itu adalah
titik asal. Koordinat cartesius sering disebut dengan
koordinat siku-siku.
Koordinat kutub Suatu koordinat yang menggunakan sebuah sinar
garis sebagai patokan muka dalam menentukan
kedudukan suatu titik pada bidang. Di mana titik
pangkal sinar garis itu sebagai kutub atau titik asal
dan sinar garis itu sendiri sebagai sumbu kutub.
MAT. 09. Trigonometri 11
BAB I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini anda akan mempelajari perbandingan trigonometri
(sinus, cosinus, tangen), penggunaan perbandingan trigonometri, penentuan
nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran, pengertian konsep
koordinat cartesius dan kutub, pengkonversian koordinat cartesius dan kutub,
aturan sinus dan cosinus, penggunaan aturan sinus dan aturan cosinus,
rumus luas segitiga, penentuan luas segitiga, rumus trigonometri jumlah dan
selisih dua sudut seperti: Sin (? + ? ), Cos (? + ? ) dan Tan ? , penggunaan
rumus trigonometri jumlah dan selisih sudut. Di samping itu anda juga
mempelajari identitas trigonometri, dan bentuk-bentuk persamaan
trigonometri.
B. Prasyarat
Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah anda harus sudah
mempelajari fungsi dan polinom, persamaan serta kesebangunan dua
segitiga. Semua materi prasyarat tersebut terdapat dalam modul relasi dan
fungsi, persamaan dan pertidaksamaan dan geometri datar dan ruang.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda lakukan adalah
sebagai berikut.
1. Pelajari daftar isi serta skema modul dengan cermat, karena daftar isi dan
skema akan menuntun anda dalam mempelajari modul ini dan kaitannya
dengan modul-modul yang lain.
MAT. 09. Trigonometri 12
2. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang
mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.
3. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal
latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan,
kembalilah mempelajari materi yang terkait.
4. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan
dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang
terkait.
5. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah,
kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau
bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan
membaca referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan
tambahan.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Menemukan nilai perbandingan trigonometri untuk suatu sudut,
2. Menggunakan perbandingan trigonometri,
3. Menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran,
4. Mengkonversikan koordinat cartesius dan kutub,
5. Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus,
6. Menentukan luas segitiga,
7. Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih sudut,
8. Menyelesaikan persamaan trigonometri,
9. Rumus.
MAT. 09. Trigonometri 13
E. Kompetensi
KOMPETENSI : TRIGONOMETRI
PROGRAM KEAHLIAN : program adaptif
MATA DIKLAT/KODE : MATEMATIKA/MAT 09
DURASI PEMBELAJARAN : 40 Jam @ 45 menit
MATERI POKOK PEMBELAJARAN
SUB KOMPETENSI KRITERIA KINERJA LINGKUP BELAJAR
SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN
1. Menentukan dan
menggunakan nilai
perbandingan
trigonometri suatu
sudut.
? Perbandingan trigonometri
suatu sudut ditentukan dari
sisi-sisi segitiga siku-siku.
? Perbandingan trigonometri
dipergunakan dalam
menentukan panjang sisi dan
besar sudut segitiga siku-siku.
? Sudut-sudut diberbagai
kuadran ditentukan nilai
perbandingan
trigonometrinya.
? Perbandingan trigonometri.
? Panjang sisi dan besar sudut
segitiga siku-siku.
? Perbandingan trigonometri di
berbagai kuadran.
? Teliti dan cermat dalam
menyelesaikan masalah
trigonometri.
? Perbandingan
trigonometri (sinus,
cosinus, tangen).
? Penggunaan
perbandingan
trigonometri.
? Penentuan nilai
perbandingan
trigonometri di berbagai
kuadran.
2. Mengkonversi
koordinat cartesius
dan kutub
? Koordinat cartesius dan
koordinat kutub dibedakan
sesuai pengertiannya.
? Koordinat cartesius dikonversi
ke koordinat kutub atau
sebaliknya sesuai prosedur
dan rumus yang berlaku.
? Koordinat cartesius dan
kutub.
? Konversi koordinat cartesius
dan kutub.
? Teliti dan cermat dalam
menyelesaikan masalah
trigonometri.
? Penjelasan konsep
koordinat cartesius dan
kutub.
? Pengkonversian koordinat
cartesius dan kutub.
? Menghitung panjang sisi
dan besar sudut segitiga
siku-siku.
? Menggambar letak titik
pada koordinat cartesius
dan kutub.
3. Menggunakan
aturan sinus dan
cosinus
? Aturan sinus digunakan untuk
menentukan panjang sisi atau
besar sudut pada suatu
segitiga.
? Aturan cosinus digunakan
untuk menentukan panjang
sisi atau besar sudut pada
suatu segitiga.
? Penggunaan aturan sinus.
? Penggunaan aturan cosinus.
? Teliti dan cermat dalam
menyelesaikan masalah
trigonometri
? Aturan sinus dan cosinus.
? Penggunaan aturan
sinus.
? Penggunaan aturan
cosinus.
? Menerapkan aturan sinus
dan cosinus.
? Menrapkan rumus luas
segitiga.
MAT. 09. Trigonometri 14
MATERI POKOK PEMBELAJARAN
SUB KOMPETENSI KRITERIA KINERJA LINGKUP BELAJAR
SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN
4. Menentukan luas
suatu segitiga
? Luas segitiga dihitung dengan
menggunakan rumus luas
segitiga
? Rumus luas segitiga.
? Penentuan luas segitiga.
? Teliti dan cermat dalam
menyelesaikan masalah
trigonometri.
? Rumus luas segitiga
? Penentuan luas segitiga
5. Menggunakan
rumus trigonometri
jumlah dan selisih
dua sudut
? Rumus trigonometri jumlah
dan selisih dua sudut
digunakan untuk
menyelesaikan soal-soal yang
terkait.
? Rumus trigonometri jumlah
dan selisih dua sudut.
? Penggunaan rumus
trigonometri jumlah dan
selisih dua sudut.
? Teliti dan cermat dalam
menyelesaikan masalah
trigonometri.
? Rumus trigonometri
jumlah dan selisih dua
sudut seperti:
- sin ?? +?? )
- cos ?? -?? )
- tan 2?
? Penggunaan rumus
trigonometri jumlah dan
selisih dua sudut.
6. Menyelesaikan
persamaan
trigonometri
? Persamaan trigonometri
dihitung penyelesaiannya.
? Bentuk-bentuk persamaan
trigonometri.
? Teliti dan cermat dalam
menyelesaikan masalah
trigonometri.
? Identitas trigonometri,
seperti:
- Sin2 x + cos2 x = 1
? Bentuk-bentuk
persamaan trigonometri
seperti:
- sin x = a
- cos px = a
- a cos x + b sin x = c
? Menyelesaikan soal-soal
dengan menggunakan
rumus trigonometri
jumlah selisih dua sudut.
? Menerapkan bentukbentuk
persamaan
trigonometri.
MAT. 09. Trigonometri 15
F. Cek kemampuan
Kerjakanlah soal-soal berikut ini. Jika anda merasa dapat mengerjakan
semua soal berikut ini, maka anda dapat langsung mengerjakan soal-soal
Evaluasi pada BAB III. Atau jika anda telah merasa dapat mengerjakan
sebagian soal-soal pada bagian yang telah anda kuasai dengan bantuan guru
maka mintalah untuk mengerjakan evaluasi pada materi yang anda kuasai.
1. Hitung nilai cos a dan sin a, jika tg a = 1
2. Sebuah tangga disandarkan tembok vertikal. Sudut yang dibentuk oleh
tangga dan lantai adalah 45 derajat, hitunglah panjang tembok dari alas
sampai tangga jika panjang tangga 4 m.
3. Tentukan koordinat kutub dari suatu titik jika koordinat Cartesiusnya (3,4)
4. Tentukan koordinat Cartesius dari titik (5,p )
5. Tuliskan aturan sinus dan aturan cosinus pada suatu segitiga.
6. Hitung dengan menggunakan rumus jumlah atau rumus selisih sin 75
7. Selesaikan sin x = ½
8. Jika A, B, dan C masing-masing sudut suatu segitiga (bukan segitiga sikusiku),
buktikan bahwa tan A + tan B + tan C=tanA tan B tan C!.
MAT. 09. Trigonometri 16
BAB II. PEMBELAJARAN
Kompetensi : Menerapkan Trigonometri.
Sub Kompetensi : 1. Menentukan dan menggunakan nilai perbandingan
trigonometri suatu sudut.
2. Mengkonversi koordinat cartesius dan kutub.
3. Menggunakan aturan sinus dan cosinus.
4. Menentukan luas suatu segitiga.
5. Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan
selisih dua sudut.
6. Menyelesaikan persamaan trigonometri.
Tulislah semua jenis kegiatan yang anda lakukan di dalam tabel kegiatan di
bawah ini. Jika ada perubahan dari rencana semula, berilah alasannya
kemudian mintalah tanda tangan kepada guru atau instruktur anda.
Jenis
Kegiatan
Tanggal Waktu Tempat
Belajar
Alasan
perubahan
Tandatangan
Guru
A. Rencana Belajar Peserta Diklat
MAT. 09. Trigonometri 17
1. Kegiatan Belajar 1
a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan anda dapat:
? Memahami pengertian perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen).
? Menggunakan perbandingan trigonometri, kemudian menentukan nilai
perbandingan trigonometri di berbagai kuadran.
? Memahami dan mampu menerapkan tentang konsep koordinat cartesius
dan kutub, serta pengkonversian koordinat cartesius dan kutub.
? Memahami dan mampu menerapkan aturan sinus dan cosinus.
? Menemukan rumus segitiga melalui perbandingan trigonometri serta
menggunakan rumus tersebut untuk menentukan luas segitiga.
b. Uraian Materi
Trigonometri sebagai suatu metode dalam perhitungan untuk
menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbandingan-perbandingan
pada bangun geometri, khususnya dalam bangun yang berbentuk segitiga.
Pada prinsipnya trigonometri merupakan salah satu ilmu yang berhubungan
dengan besar sudut, dimana bermanfaat untuk menghitung ketinggian suatu
tempat tanpa mengukur secara langsung sehingga bersifat lebih praktis dan
efisien.
Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, dimana terdiri dari dua buah
kata yaitu trigonom berarti bangun yang mempunyai tiga sudut dan sisi
(segitiga) dan metrom berarti suatu ukuran. Dari arti dua kata di atas,
trigonometri dapat diartikan sebagai cabang ilmu matematika yang
mempelajari tentang perbandingan ukuran sisi suatu segitiga apabila ditinjau
dari salah satu sudut yang terdapat pada segitiga tersebut. Dalam
mempelajari perbandingan sisi-sisi segitiga pada trigonometri, maka segitiga
B. Kegiatan Belajar
MAT. 09. Trigonometri 18
itu harus mempunyai tepat satu sudutnya (900) artinya segitiga itu tidak lain
adalah segitiga siku-siku.
1) Perbandingan Trigonometri (Sinus, Cosinus Dan Tangen)
Misalkan diketahui ?ABC merupakan segitiga siku-siku di A. Titik D
dan F terletak pada ruas garis AC dimana D? F ? A ? C, titik E dan G
terletak pada ruas garis BC dimana E ? G ? B ? C, sedemikian hingga DE //
FG // AB . Untuk lebih jelasnya coba diperhatikan gambar di bawah ini:
Pandang ? ABC, ? FGC dan ? CDE
m? ACB = m? FCG = m? DEC….(Berimpit)
m? BAC = m? GFC = m? EDC….(900)
m? ABC = m? FGC = m? DEC ….(Dua sudut
lain yang bersesuaian sama besar)
sehingga menyebabkan:
?ABC? ? FGC ? ?CDE
Akibatnya: sisi-sisi yang bersesuaian
perbandingannya selalu dan tetap.
1.
CF
CD
=
CG
CE
=
CA
CF
=
CB
CG
?
CE
CD
=
CG
CF
=
CB
CA
=
sisi miring segitiga
sisi siku ? siku di depan sudut ?
Perbandingan ini disebut sinus dari sudut ? ditulis sin ?
2.
CF
CD
=
CG
CE
=
FG
DE
=
AB
FG
?
CE
DC
=
CG
CF
=
CB
AB
=
sisimiring segitiga
sisi siku ? sikudi samping sudut ?
Perbandingan ini disebut cosinus dari sudut ? ditulis cos ?
3.
CE
CD
=
FG
CF
=
CB
CA
=
sisi miring segitiga
sisi siku ? siku di depan sudut?
Perbandingan ini disebut tangen dari sudut ? ditulis tan ?
A B
F G
D E
C
MAT. 09. Trigonometri 19
Selain tiga perbandingan di atas, disepakati juga perbandingan
kebalikan yaitu cotangen, secan, dan cosecan yang secara berurutan
disingkat ctg, sec dan cosec (csc) dengan ketentuan sebagai berikut:
Dari uraian di atas, dapat kita jelaskan perbandingan trigonometri sebagai
berikut.
Sin ? =
sisi miring
sisi siku ? sikudidepan sudut ?
=
BC
AC
Cos ? =
sisi miring
sisi siku ? sikudisamping sudut ?
=
BC
AB
Tan ? =
?
?
sisi siku sikudi samping sudut
sisi siku siku didepan sudut
?
?
=
AB
AC
Ctg ? =
tg ?
1
=
AB
AC
1
=
AC
AB
Sec ? =
cos ?
1
=
BC
AB
1
=
AB
BC
Cosec ? =
sin ?
1
=
BC
AC
1
=
AC
BC
Untuk mempermudah dalam menghafal, cara yang dapat dipakai sebagai
berikut:
Sindemi ? sinus =
miring
depan
Cossami ? cosinus =
miring
samping
Tandesa ? Tangen =
samping
depan
A B
C
?
Ctg ? =
tg?
1
; Cosec ? =
sin ?
1
; Sec ? =
cos?
1
MAT. 09. Trigonometri 20
Rumus lain:
Tan ? =
?
?
cos
sin
; Cotan ? =
?
?
sin
cos
; sin2 ? + cos2 ? = 1
Contoh 1
1) Tentukan nilai sin ? , cos ? dan tan ? dari segitiga di
samping ini, jika DE = 6 dan DF = 8.
Jawab:
Pandang ? DEF yang salah satu sudutnya siku-siku
(900), berarti ? DEF merupakan segitiga siku-siku
sehingga berlaku teorema phytagoras, yaitu:
EF2 = DE2 + DF2
= 62 + 82 = 36 + 64 =100
EF = 100 = 10
Jadi; sin ? =
EF
DF
=
10
8
, cos ? =
EF
DE
=
10
6
dan tan ? =
DE
DF
=
6
8
2) Perhatikan segitiga di samping ini, kemudian
tentukan panjang SR, QS dan PS!
Jawab:
QR2 = PQ2 + PR2
= 82 + 152 = 64 + 225 = 289
QR = 289 = 17
Pandang ? PQR: cos ? =
QR
PR
=
17
15
Pandang ? PSR: cos ? =
PR
SR
=
15
SR
Nilai cos ? dari ?PQR = nilai cos ? dari ? PSR, hal ini dikarenakan besar
suatu sudut yang sama adalah sama ( ? besarnya sama).
D E
F
?
Q
P
R
?
S
?
15
8
MAT. 09. Trigonometri 21
Jadi, berlaku persamaan berikut ini.
17
15
=
15
SR
?? 17 SR = 15 x 15 = 225 ? SR =
17
225
= 13
17
4
QR = QS + SR ? QS = QR – SR = 17 - 13
17
4
= 3
17
13
Untuk mencari PS dapat dipakai beberapa cara:
Cara 1.
Pandang ? PQR: sin ? =
QR
PQ
=
17
8
Pandang ? PSR: sin ? =
PR
PS
=
15
PS
Sehingga berlaku:
17
8
=
15
PS
? 17 PS = 8 x 15 ? PS =
17
120
= 7
17
1
Cara 2.
Pandang ? PQR: sin ? =
QR
PR
=
17
15
Pandang ? PQS: sin ? =
PQ
PS
=
8
PS
Sehingga berlaku:
17
15
=
8
PS
? 17 PS = 8 x 15 ? PS =
17
120
= 7
17
1
Cara 3.
Pandang ?? PQS, segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan
sudut siku di titik P. Karena PQ = 8 dan QS sudah kita temukan
nilainya yaitu 3
17
13
, maka untuk mencari nilai PS kita gunakan teorema
phytagoras sebagai berikut:
PQ2 = QS2 + PS2
PS2 = PQ2 - QS2
= 82 – (3
17
13
)2
= 64 – (
17
64
)2 = 64 - 2
2
17
64
= 2
2
17
64(17 ? 64)
MAT. 09. Trigonometri 22
= 17 2
64(17 ? 8)(17 ? 8)
PS = 172
64?25? 9
=
17
8.5.3
=
17
120
=7
17
1
2) Nilai Sinus, Cosinus dan Tangen Sudut Istimewa
Sudut istimewa di sini adalah sudut-sudut yang besarnya 0, 30, 45,
60 dan 90 derajat. Untuk mencari nilai sinus, cosinus dan tangen dari
sudut-sudut istimewa di atas, marilah kita perhatikan dua segitiga sikusiku
di bawah ini.
Segitiga siku-siku yang pertama dibentuk dari segitiga sama sisi
dengan panjang sisi 2 satuan, di mana dipotong menurut salah satu garis
sumbunya. Sedangkan siku-siku yang kedua dibentuk dari persegi dengan
panjang 1 satuan, di mana dipotong menurut salah satu diagonalnya. Cara
menentukan nilai dari sinus, cosinus dan tangen adalah sebagai berikut.
Pada segitiga I:
Sin 300 =
BC
AB
=
2
1
; Sin 600 =
BC
AC
=
2
3
=
2
1
3
Cos 600 =
BC
AB
=
2
1
; Cos 600 =
BC
AC
=
2
3
=
2
1
3
Tan 300 =
AC
AB
=
3
1
=
3 3
1 3
x
x
=
3
1
3 ; Tan 600 =
AB
AC
=
1
3
= 3
(I) (II)
A B
C
P Q
R
2
1
1
2
3
300
600 450
450
MAT. 09. Trigonometri 23
Pada segitiga II:
Sin 450 =
QR
PQ
=
QR
PR
=
2
1
=
2 2
1 2
x
x
=
2
1 2
Cos 450 =
QR
PR
=
QR
PQ
=
2
1
=
2 2
1 2
x
x
=
2
1 2
Tan 450 =
PR
PQ
=
PQ
PR
=
1
1
= 1
Untuk sudut nol dan siku-siku, cara memperoleh nilai sinus, cosinus
dan tangen adalah sebagai berikut.
Misalkan diketahui suatu lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari r
satuan.
Ambil suatu titik pada lingkaran yaitu titik T (x,y).
Pada gambar di samping kan di dapat nilai:
Sin ? =
r
y
; Cos ? =
r
x
; Tan ? =
x
y
sudut nol terjadi jika titik T berimpit dengan
sumbu X, sehingga: sin 00 =
r
0
= 0; cos 00
=
r
x
=
r
r
= 1; Tan 00 =
x
0
= 0.
Sedangkan sudut siku-siku atau 900 terjadi jika titik T berimpit
dengan sumbu Y, sehingga: sin 900 =
r
y
=
r
r
= 1; cos 900 =
r
x
=
r
0
= 0;
Tan 900 =
x
y
=
0
r
= tak terdefinisikan (artinya tan 900 tidak mempunyai
nilai atau tan 900 = ? ).
Dari uraian di atas dapat kita buat tabel nilai sinus, cosinus dan tangen
sebagai berikut.
T(x,y)
?
Y
X
r
MAT. 09. Trigonometri 24
SUDUT SIN COS TAN
00 0 1 0
300
2
1
2
1
3
3
1
3
450
2
1 2
2
1 2 1
600
2
1
3
2
1 3
900 1 0 ?
3) Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran
Sistem kuadran pada bidang cartesius terbagi menjadi 4 bagian
yang ditetapkan sebagai berikut:
Kuadran I : daerah yang dibatasi oleh sumbu X positif dan sumbu Y positif.
Kuadran II : daerah yang dibatasi oleh sumbu X negatif dan sumbu Y positif.
Kuadran III : daerah yang dibatasi oleh sumbu X negatif dan sumbu Y negatif.
Kuadran IV: daerah yang dibatasi oleh sumbu X positif dan sumbu Y negatif.
Sedangkan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran di
atas, dapat dijelaskan dengan gambar berikut ini.
Kuadran I:
Sin ? =
r
y
= +
Cos ? =
r
x
= +
Tan ? =
x
y
= +
T(x,y)
?
Y
X
r
MAT. 09. Trigonometri 25
Kuadran II:
Sin ? =
r
y
= +
Cos ? =
r
? x
= -
Tan ? =
x
y
?
= -
Kuadran III:
Sin ? =
r
? y
= -
Cos ? =
r
? x
= -
Tan ? =
x
y
?
?
= +
Kudran IV:
Sin ? =
r
? y
= -
Cos ? =
r
x
= +
Tan ? =
x
? y
= -
Untuk lebih mempermudah mengingat perbandingan trigonometri
dapat dilakukan dengan membaca gambar berikut.
Yang positif adalah
T(x,y)
?
Y
X
r
Y
X
T(x,y)
r
?
Y
X
T(x,y)
r
?
Kuadran I
Kuadran II semua
sin
Kuadran
III
Kuadran
IV
MAT. 09. Trigonometri 26
4) Penggunaan Perbandingan Trigonometri
Banyak sekali kegunaan konsep perbandingan trigonometri dalam
kehidupan sehari-hari, terutama pada kasus-kasus yang melibatkan
segitiga siku-siku meliputi panjang sisi dan besar sudut siku-siku. Salah
satu kegunaan trigonometri adalah menghitung tinggi atau jarak pada
kasus terapan seperti yang akan dicontohkan berikut ini.
Contoh 2
Sebuah tangga disandarkan pada suatu tembok vertikal. Sudut yang
dibentuk oleh tangga itu dengan lantai horizontal adalah 600. Jika jarak
kaki tangga ke tembok tadi adalah 6 m, hitunglah:
a. Panjang tangga itu
b. Tinggi tembok dari ujung tangga ke lantai
c. Misal sudut antara tangga dan lantai adalah ? , tentukan nilai ? apabila
panjang tangga 6 2 m.
Jawab:
Situasi contoh di atas dapat digambarkan sebagai berikut.
Pandang ?? ABC yang terbentuk, maka ??ABC merupakan segitiga siku-siku
di A. BC adalah panjang tangga dan AC adalah tinggi tembok ke lantai,
sehingga:
a. Menurut perbandingan cosinus:
Cos 600 =
BC
AB
=
BC
6
B
A
C
600
MAT. 09. Trigonometri 27
? Cos 600. BC = 6
?
2
1
. BC = 6
? BC = 12
Jadi panjang tangga tersebut dalah 12 m.
b. Menurut perbandingan tangen:
Tan 600 =
AB
AC
=
6
AC
? Tan 600. 6 = AC
? AC = 3 . 6 = 6 3
Jadi tinggi tembok dari ujung tangga ke lantai adalah 6 3 m.
c. Menurut perbandingan cosinus:
Cos ? =
BC
AB
=
6 2
6
=
2
1
Jadi besar ? = 450
5) Koordinat Cartesius dan Kutub
Koordinat cartesius adalah suatu sistem koordinat yang
menggunakan dua garis lurus yang saling tegak lurus dan berarah dalam
menentukan kedudukan suatu titik pada bidang. Di mana dua garis yang
dimaksud adalah sumbu X dan sumbu Y, serta perpotongan kedua titik itu
adalah titik asal. Koordinat cartesius sering disebut dengan koordinat sikusiku.
Sedangkan koordinat kutub adalah suatu koordinat yang
menggunakan sebuah sinar garis sebagai patokan muka dalam
menentukan kedudukan suatu titik pada bidang. Di mana titik pangkal
sinar garis itu sebagai kutub atau titik asal dan sinar garis itu sendiri
sebagai sumbu kutub.
Untuk lebih jelasnya pemahaman kita tentang koordinat cartesius
dan koordinat kutub, mari kita perhatikan gambar kedua koordinat itu.
MAT. 09. Trigonometri 28
Pada gambar (I) merupakan contoh koordinat cartesius yang
menggambarkan kedudukan titik P, sedangkan gambar (II) merupakan
contoh koordinat kutub yang menggambarkan kedudukan titik T.
6) Konversi Koordinat Cartesius dan Kutub
Misalkan dalam koordinat cartesius, sumbu X positif dipandang
sebagai sumbu kutub dan titik asal O (dalam sistem koordinat cartesius)
dipandang pula sebagai titik asal dari sistem koordinat kutub. Ambil suatu
titik pada suatu bidang misal Q(x,y) dalam sistem koordinat cartesius yang
dinyatakan sebagai Q(r, ?) dalam sistem koordinat kutub (perhatikan
gambar di bawah ini).
Pandang ? OTQ siku-siku di T, maka melaui perbandingan
trigonometri diperoleh hubungan sebagai berikut.
Cos ? =
r
x
? x = r Cos ?……………(1)
Sin ? =
r
y
? y = r sin ?……………..(2)
?
O(0,0) Sumbu X O
Sumbu Y
? ?
P(x,y)
x
y T(r,?)
(I) (II)
?
r
?
T
Q
O
X
Y
?
r
x
MAT. 09. Trigonometri 29
Kedua ruas persamaan (1) dan (2) dikuadratkan, kemudian kedua
persamaan itu dijumlahkan, sehingga diperoleh hubungan berikut.
( x2 + y2) = (r2 Cos2 ? + r2 sin2 ?)
x2 + y2 = r2 (Cos2 ? + sin2 ?)
x2 + y2 = r2 (1)…….. karena Cos2 ? + sin2 ? = sin2 ? + Cos2 ? = 1
x2 + y2 = r2 ? r = x2 ? y2
Tan ? =
x
y
? ? = arc tan
x
y
Untuk menyelidiki harga ? yang memenuhi, dapat kita cari dari Cos ? =
r
x
dan Sin ? =
r
y
sehingga diperoleh hubungan berikut ini.
? = arc cos
x2 y2
x
?
? = arc sin
x2 y2
y
?
Contoh 3
a. Tentukan koordinat cartesius dari titik yang koordinat kutubnya adalah
(4,
6
?
)!
Jawab:
r = 4 dan ? =
6
?
, maka x = 4. cos
6
?
= 4.
2
1
3 = 2 3
y = 4. sin
6
?
= 4.
2
1
= 2
Jadi titik ( 4,
6
?
) dalam koordinat kutub dapat dinyatakan dalam
koordinat cartesius sebagai (2 3 , 2)
b. Tentukan koordinat kutub dari titik yang koordinat cartesiusnya (-3, 3 )!
Jawab:
Titik (-3, 3 ) merupakan titik dalam kuadran II, maka ? memenuhi 90
< ? < 180 artinya ? harus tumpul. MAT. 09. Trigonometri 30 r2 = (-3)2 + ( 3 )2 = 9 + 9 = 18 r = 18 = 2 3 Tan ? = x y = 3 3 ? = - 3 1 3 ? = (180 – 30) = 150 = 6 5? Jadi titik (-3, 3 ) dalam koordinat cartesius dapat dinyatakan dalam koordinat kutub sebagai (2 3 , 6 5? ). 7) Aturan Sinus dan Cosinus Mencari Rumus Sinus Misalkan ?ABC adalah segitiga dengan ? CAB = ? ; ? ABC = ? dan ? BCA = ? serta panjang BC, AC dan AB berturut-turut adalah a, b dan c. Tarik garis melalui titik C di luar garis AB tegak lurus garis tersebut, misal CD. Sin A = AC CD ? CD = AC.Sin A? CD = b Sin A ………(1) Sin B = BC CD ? CD = BC. Sin B ? CD = a Sin B……….(2) Dari (1) dan (2) didapat: b Sin A = a Sin B? Sin A a = Sin B b ……….(3) Tarik garis melalui titik B di luar garis AC tegak lurus garis tersebut, misal BE . Sin A = AB BE ? BE = AB. Sin A ? BE = c Sin A…….(4) ? r X Y ? (-3, 3 ) A B C a c b ? ? ? D E MAT. 09. Trigonometri 31 Sin C = BC BE ? BE = BC. Sin C ? BE = a Sin C…….(5) Dari (4) dan (5) didapat: c SinA = a Sin C ? Sin A a = SinC c …………..(6) Dari (3) dan (6) di dapat: Sin A a = Sin B b = SinC c ? Sin? a = Sin ? b = Sin ? c ; disebut juga rumus/aturan sinus. Rumus sinus: Mencari Rumus Cosinus Misalkan ?ABC adalah segitiga dengan ? CAB = ? ; ? ABC = ? dan ? BCA = ? serta panjang BC, AC dan AB berturut-turut adalah a, b dan c. Tarik garis melalui titik C di luar garis AB tegak lurus garis tersebut, misal CD. Sin A = AC CD ? CD = b. Sin A………(1) Cos A = AC AD ? AD = b. Cos A BD = AB – AD = c – b. Cos A………(2) Pandang ? BDC siku-siku di D, maka berlaku teorema phytagoras: BC2 = BD2 + CD2 a2 = (c – b Cos A)2 + (b Sin A)2 = c2 –2bc Cos A + b2Cos2 A + b2 Sin2 A = c2 –2bc Cos A + b2 (Cos2 A + Sin2 A) = c2 –2bc Cos A + b2 (1) a2 = b2 + c2 –2bc Cos A A B C a c b ? ? ? D sin ? a = sin ? b = sin ? c MAT. 09. Trigonometri 32 Dengan cara yang sebanding, kita akan memperoleh rumus cosinus yang lain yaitu: b2 = a2 + c2 – 2 ac cos ? c2 = a2 + b2 – 2 ab cos ? Buktikan sendiri di rumahmu! Rumus Cosinus: 8) Penggunaan Aturan Sinus Aturan sinus sangat bermanfaat untuk menghitung panjang sisi atau besar sudut pada suatu segitiga. Contoh 4 a. Diketahui ?? ABC dengan AB = 4 cm, ? CAB = 300 dan ? BCA = 450 . Tentukan panjang BC? Jawab: Berdasarkan aturan sinus: sin 300 BC = sin 450 AB ? ? 2 1 BC = ? ? 2 4 2 1 2 1 2 . BC = 4 x 2 1 BC = 2 2 2 = 2 x 2 2 = Jadi panjang BC adalah 2 2 cm. b. Diketahui ?? PQR dengan ? PQR = 600, PQ = 6 4 3 cm dan PR = 4 9 cm. Tentukan besar sudut ? PRQ dan ? RPQ ! A B C 4 cm 300 450 a2= b2 + c2 – 2 bc cos ? b2 = a2 + c2 – 2 ac cos ? c2 = a2 + b2 – 2 ab cos ? MAT. 09. Trigonometri 33 Jawab: Berdasarkan aturan sinus: sin 600 PR = PRQ PQ sin ? 2 3 1 4 9 = sin ? PRQ 4 6 3 4 9 . Sin ? PRQ = 4 3 6 x 3 2 1 = 8 3 18 sin ? PRQ = 2 1 2 ? ? PRQ = 450 Jadi besar sudut ? PRQ adalah 450, sedangkan besar sudut? RPQ =1800-(650+450) = 700 . 9) Penggunaan Aturan Cosinus Seperti halnya aturan sinus, aturan cosinus sangat bermanfaat untuk menghitung panjang sisi atau besar sudut pada suatu segitiga. Contoh 5 a. Diketahui ?? ABC dengan AB = 4 cm dan AC = 2 2 cm, ? CAB = 300. Tentukan panjang BC? Jawab: Berdasarkan aturan cosinus: a2 = b2 + c2 – 2 bc cos ? = (2 2 )2 + (4)2 – 2. 2 2 . 4. cos 300 = 8 + 16 - 16 2 . 2 1 3 = 24 – 8 6 a = 24? 8 6 = 2 6? 2 6 Jadi panjang BC adalah 2 6? 2 6 cm. P Q R 4 3 6 cm 600 4 9 cm A B C 4 cm 300 2 2 cm MAT. 09. Trigonometri 34 b. Diketahui ?? PQR dengan PR = 3 cm, PQ = 1 cm dan QR = 2 cm. Tentukan besar ? PQR! Jawab: PR2 = PQ2 + QR2 – 2 PQ.QR Cos Q ( 3 )2 = (1)2 + (2)2 – 2. 1.2 Cos Q 3 = 5 – 4 Cos Q 4Cos Q = 2 Cos Q = 2 1 ? PQR = 600 Jadi besar ? PQR adalah 600 10) Rumus Luas Segitiga Luas segitiga adalah banyaknya satuan luas yang tepat menutupi permukaan segitiga itu. Rumus luas segitiga, ada tiga cara yaitu: Cara I: Luas segitiga= 2 1 x alas x Tinggi; rumus ini dapat digunakan jika salah satu alas dan garis tinggi pada alas tersebut diketahui. Cara II: Menghitung luas segitiga menggunakan perbandingan trigonometri (Aturan sinus): L ?ABC = 2 1 x AB x t Sin A = AC t ? t = AC.Sin A Sehingga, L ?ABC = 2 1 x AB x AC.Sin A = 2 1 cb sin A = 2 1 bc sin A P Q R 1 cm 3 cm 2 cm A C t B MAT. 09. Trigonometri 35 Dengan memperhatikan ? B, didapat: t = BC. Sin A Sehingga, L ?ABC = 2 1 x AB x BC. Sin A = 2 1 ca sin A = 2 1 ac sin A Dengan memperhatikan ? C, didapat: t = BC. Sin C Sehingga, L ?ABC = 2 1 x AC x BC. Sin C = 2 1 ba sin C = 2 1 ab sin C Ketiga rumus luas segitiga di atas dapat digunakan apabila diketahui sebuah sudut dan dua sisi yang mengapit sudut tersebut. Cara III: Berdasarkan rumus/aturan cosinus yaitu a2 = b2 + c2 – 2 bc cos ? ? Cos ? = bc b c a 2 2 ? 2 ? 2 Karena Sin2 ? + Cos2 ? = 1? Sin2 ? = 1 - Cos2 ? Maka: Sin2 ? = (1 + Cos ? )(1 - Cos ? ) = ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? bc b c a 2 1 2 2 2 ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? bc b c a 2 1 2 2 2 ? = 4 2 2 1 b c (a + b + c)(b + c –a)(a + b – c)(a + c –b) Misalkan ada satu bilangan real positif s = ½ keliling ?ABC = ½ (a+b+c) Maka: Sin A = (2 ){2( )}{2( )}{2( )} 4 2 2 1 s s a s b s c b c ? ? ? A C t B MAT. 09. Trigonometri 36 = bc 2 s(s ? a)(s ? b)(s ? c) sehingga luas ? ABC = ½ bc Sin A = ½ bc x bc 2 s(s ? a)(s ? b)(s ? c) = s(s ? a)(s ? b)(s ? c) Rumus luas di atas, dapat digunakan apabila ketiga sisinya diketahui. Contoh 6 Diketahui ?? PQR. Hitung luas?? PQR Jika: a. PQ = 1 cm, QR = 2 cm, dan PR = 3 cm. b. PQ = 1 cm dan QR = 2 cm, besar ? PQR = 600. c. Alas segitiga adalah 3 cm dan tingginya 1 cm. Jawab: a. s = ½ (PQ + QR + PR) = ½ (1 + 2 + 3 ) = 2 3 + 2 1 3 L ?? PQR = 3 ) 2 1 2 3 )( 2 1 3 2 1 )( 2 1 3 2 1 3 )( 2 1 2 3 ( ? ? ? ? = ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 4 1 4 3 4 3 4 9 = 4 2 4 6 x = 4 1 12 = 2 1 3 Jadi luas ?? PQR adalah 3 2 1 cm2 P Q R 1 cm 3 cm 2 cm MAT. 09. Trigonometri 37 b. L ?? PQR = 2 1 x PQxQRx Sin ? PQR = 2 1 x 1x 2x Sin 600 = 1 x 3 2 1 Jadi luas ?? PQR adalah 3 2 1 cm2 c. L ?? PQR = ½ alas x tinggi = ½ x 3 x 1 = 3 2 1 Jadi luas ?? PQR adalah 3 2 1 cm2 c. Rangkuman 1 1) Sin ? = sisi miring sisi siku ? sikudidepan sudut ? = BC AC Cos ? = sisi miring sisi siku ? sikudisamping sudut ? = BC AB Tan ? = ? ? sisi siku sikudi samping sudut sisi siku siku didepan sudut ? ? = AB AC Ctg ? = tg ? 1 = AB AC 1 = AC AB Sec ? = cos ? 1 = BC AB 1 = AB BC P Q R 1 cm 2 cm 600 P Q R 1 cm 3 cm t A B C ? MAT. 09. Trigonometri 38 Cosec ? = sin ? 1 = BC AC 1 = AC BC 2) Sistem koordinat kutub x = r Cos ? y = r Sin ? dengan tan ? = x y dan r = x2 ? y2 3) Aturan Sinus: sin ? a = sin ? b = sin ? c 4) Aturan Cosinus a2 = b2 + c2 – 2 bc cos ? b2 = a2 + c2 – 2 ac cos ? c2 = a2 + b2 – 2 ab cos ? 5) Luas ? ABC = 2 1 x bc x Sin A Luas ? ABC = 2 1 x ac x Sin B Luas ? ABC = 2 1 x ab x Sin C Luas ? ABC = s(s ? a)(s ? b)(s ? c) , s setengah keliling segitiga d. Tugas 1 1. Tentukan nilai sin ? XOT, cos ? XOT dan tan ? XOT, jika koordinat titik T adalah sebagai berikut: a) T (3,4) c) T (-5,-10) b) T (-4,6) d) T (8,-6) 2. Diketahui suatu segitiga siku-siku. Panjang sisi miringnya adalah 3 2 cm. Jika besar salah satu sudutnya 450, berapakah panjang sisi-sisi yang lain! MAT. 09. Trigonometri 39 3. Tentukan perbandingan-perbandingan nilai sin a dan cos a, serta hitunglah tan a dari gambar berikut ini: a) c) b) 4. Dari soal no.3 hitunglah luas masing-masing segitiga tersebut! e. Kunci Tugas 1 1. a) r= 32 ? 42 ? 5 sin ? XOT = r y = 5 4 cos ? XOT = r x = 5 3 tan ? XOT = x y = 3 4 b) T (-4,6); x = -4 dan y = 6 maka r= (?4)2 ? (6)2 ? 52 ? 2 13 sehingga diperoleh perbandingan trigonometri sebagai berikut: sin ? XOT = r y = 13 3 2 13 6 ? cos ? XOT = r x = 13 2 2 13 4 ? ? ? T (3,4) O (0,0) x y 5 3 4 15 8 17 12 5 15 a a a MAT. 09. Trigonometri 40 tan ? XOT = x y = 2 3 4 6 ? ? ? c) T(-5,10); x = -5 dan y = 10 maka r= (?5)2 ? (10)2 ? 116 ? 2 29 sehingga diperoleh perbandingan trigonometri sebagai berikut: sin ? XOT = r y = 29 5 2 29 10 ? cos ? XOT = r x = 2 29 5 2 29 5 ? ? ? tan ? XOT = x y = 2 5 10 ? ? ? d) ……………………..(kerjakan mandiri) 2. Diketahui: misalkan ? ABC siku-siku seperti pada soal ? A = 900; ? B = 450; BC = 3 2 Ditanya: panjang sisi-sisi yang lain! Jawab: Cara I: Karena jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 1800, maka besar ? C = 1800 – 900 - 450 = 450 =? B sehingga segitiga siku-siku tersebut juga merupakan segitiga sama kaki. AB2 + AC2 = BC2 2AB2 = (3 2 )2 = 18 AB2 = 9 AB=AC = 3 A B C MAT. 09. Trigonometri 41 Cara II: sin 450 = 3 2 AC BC AC ? ? AC = sin 450. 3 2 = 2 2 1 .3 2 = 3 3. a) sin a = 5 3 ; cos a = 5 4 ; dan tan a = 4 3 b) sin a = 17 15 ; cos a = 17 8 ; dan tan a = 8 15 c) sin a = 5 4 15 12 ? ; cos a = 3 1 15 5 ? ; dan tan a = 5 12 4. a) Luas masing-masing segitiga di atas dalam kasus ini, lebih mudah menggunakan perbandingan trigonometri yaitu setengah dikalikan sisi pertama dan kedua dikalikan sinus sudut yang diapit oleh kedua sisi tadi. Luas = ½. 5. 4. Sin a = ½. 5. 4. ( 5 3 ) = 6 satuan luas b) Luas = ½. 8. 17. Sin a = ½. 8. 17. ( 17 15 ) = 60 satuan luas c) Luas = ½. 5. 15. Sin a = ½. 5. 15. ( 5 4 ) = 30 satuan luas f. Tes Formatif 1. Tentukan nilai sin ? XOT, cos ? XOT dan tan ? XOT, jika koordinat titik T adalah sebagai berikut: a) T (3,4) c) T (-5,-10) b) T (-4,6) d) T (8,-6) 2. Diketahui suatu segitiga siku-siku. Panjang sisi miringnya adalah 3 2 cm. Jika besar salah satu sudutnya 450, berapakah panjang sisi-sisi yang lain! MAT. 09. Trigonometri 42 3. Tentukan perbandingan-perbandingan nilai sin a dan cos a, serta hitunglah tan a dari gambar berikut ini: a) c) b) 4. Dari soal no.3 hitunglah luas masing-masing segitiga tersebut! 5. Jika tan ? = ½n, tentukanlah dari: a) sin ? b) cos ? c) tan ? g. Kunci Tes Formatif 1. a) r= 32 ? 42 ? 5 sin ? XOT = r y = 5 4 cos ? XOT = r x = 5 3 tan ? XOT = x y = 3 4 b) T (-4,6); x = -4 dan y = 6 maka r= (?4)2 ? (6)2 ? 52 ? 2 13 sehingga diperoleh perbandingan trigonometri sebagai berikut: sin ? XOT = r y = 13 3 2 13 6 ? cos ? XOT = r x = 13 2 2 13 4 ? ? ? T (3,4) O (0,0) x y 5 3 4 15 8 17 12 5 15 a a a MAT. 09. Trigonometri 43 tan ? XOT = x y = 2 3 4 6 ? ? ? c) T (-5,10); x = -5 dan y = 10 maka r= (?5)2 ? (10)2 ? 116 ? 2 29 sehingga diperoleh perbandingan trigonometri sebagai berikut: sin ? XOT = r y = 29 5 2 29 10 ? cos ? XOT = r x = 2 29 5 2 29 5 ? ? ? tan ? XOT = x y = 2 5 10 ? ? ? d) ……………………..(kerjakan mandiri) 2. Diketahui: misalkan ? ABC siku-siku seperti pada soal ? A = 900; ? B = 450; BC = 3 2 Ditanya: panjang sisi-sisi yang lain! Jawab: Cara I: Karena jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 1800, maka besar ? C = 1800 – 900 - 450 = 450 =? B sehingga segitiga siku-siku tersebut juga merupakan segitiga sama kaki. AB2 + AC2 = BC2 2AB2 = (3 2 )2 = 18 AB2 = 9 AB=AC = 3 Cara II: sin 450 = 3 2 AC BC AC ? ? AC = sin 450. 3 2 = 2 2 1 .3 2 = 3 3. a) sin a = 5 3 ; cos a = 5 4 ; dan tan a = 4 3 A B C MAT. 09. Trigonometri 44 b) sin a = 17 15 ; cos a = 17 8 ; dan tan a = 8 15 c) sin a = 5 4 15 12 ? ; cos a = 3 1 15 5 ? ; dan tan a = 5 12 4. a) Luas masing-masing segitiga di atas dalam kasus ini, lebih mudah menggunakan perbandingan trigonometri yaitu setengah dikalikan sisi pertama dan kedua dikalikan sinus sudut yang diapit oleh kedua sisi tadi. Luas = ½. 5. 4. Sin a = ½. 5. 4. ( 5 3 ) = 6 satuan luas b) Luas = ½. 8. 17. Sin a = ½. 8. 17. ( 17 15 ) = 60 satuan luas c) Luas = ½. 5. 15. Sin a = ½. 5. 15. ( 5 4 ) = 30 satuan luas. MAT. 09. Trigonometri 45 2. Kegiatan Belajar 2 a. Tujuan Kegiatan pembelajaran Setelah mempelajari kegiatan belajar 2, diharapkan anda dapat: ? Menemukan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut serta menggunakannya untuk menyelesaikan masalah ? Membuktikan identitas trigonometri seperti sin2x +cos2x = 1 ? Memahami bentuk-bentuk persamaan trigonometri serta dapat menyelesaikan persamaan trigonometri tersebut. b. Uraian Materi 1) Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut Menemukan Rumus Cos (a-b) dan cos (a + b) Diberikan suatu lingkaran yang berpusat di titik asal dengan jari-jari 1 satuan. Dibuat titik D (1,0) dalam koordinat kutub, maka koordinat cartesius titik itu juga sama yaitu (1,0). Dibuat titik B (1,b) dalam koordinat kutub, maka koordinat cartesius titik itu adalah (cos b, sin b). Dibuat titik A (1, a) di mana a > b dalam koordinat kutub, maka koordinat
cartesius titik itu adalah (cos a, sin a).
Dari gambar di atas, dapat diketahui besar ? AOB adalah a-b. Oleh
karena itu, dapat dibuat suatu titik C sedemikian hingga membentuk
X
Y
D(1,0)
A
B
C
b
a
x = r cos ?
y = r sin ?
O
MAT. 09. Trigonometri 46
sudut a-b terhadap sumbu X positif, yaitu dengan koordinat (1,a-b) dalam
koordinat cartesius sehingga koordinat cartesiusnya adalah (cos (a-b), sin
(a-b)).
Karena besar ? AOB = ? COD = a-b yang keduanya merupakan
sudut pusat lingkaran, maka panjang busur AB = panjang busur CD
akibatnya AB = CD. Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik,
kita dapat menghitung panjang AB dan DC.
AB = ? ?2 ( )2 B A B A x ? x ? y ? y
= ?cosb? cos a?2 ? (sin b? sin a)2
CD = ? ?2 2 ( ) D C D C x ? x ? y ? y
= ?1? cos (a ? b)?2 ? (0? sin( a ? b))2
Oleh karena AC = AB, maka diperoleh:
?cosb? cos a?2 ? (sin b? sin a)2 = ?1? cos (a ? b)?2 ? (0? sin( a ? b))2
Dengan mengkuadratkan kedua ruas, didapat:
(cos b – cos a)2 + (sin b – sin a)2 = [1-cos (a - b)]2 + [0 – sin(a - b)]2
Dengan menguraikan ruas kiri dari persamaan di atas:
(cos b – cos a)2 + (sin b – sin a)2
= (cos2 b –2 cos b.cos a + cos2 a) + (sin2 b –2sin b. sin a + sin2 a)
= (cos2 b + sin2 b) + (cos2 a + sin2 a) – 2 cos b.cos a – 2 sin b. sin a
= (1) + (1) – 2(cos b.cos a + sin b. sin a)
= 2 – 2(cos b.cos a + sin b. sin a) ………………………………………..(1)
Dengan menguraikan ruas kanan dari persamaan yang sama:
[1-cos (a - b)]2 + [0 – sin(a - b)]2
= [ 1 – 2 cos (a - b) + cos2 (a - b)] + [sin2 (a – b)]
= 1– 2 cos (a - b) + cos2 (a - b) + sin2 (a – b)
= 1– 2 cos (a - b) + 1
MAT. 09. Trigonometri 47
= 2 – 2 cos (a - b) ……………………………………………………………..(2)
Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh:
2 – 2(cos b.cos a + sin b. sin a) = 2 – 2 cos (a - b)
2(cos b.cos a + sin b. sin a) = – 2 cos (a - b)
cos b.cos a + sin b. sin a = cos (a - b)
Sehingga diperoleh rumus cosinus selisih dua sudut, yaitu:
Dengan mensubtitusi b = -b pada rumus di atas, diperoleh:
Cos (a –(-b)) = cos a.cos (-b) + sin a. sin (-b)
Cos (a + b) = cos a.cos b + sin a. (-sin b),
karena cos (-b) = cos b dan sin (-b) = -sin b, maka didapat
Cos (a + b) = cos a. cos b - sin a. sin b
Sehingga diperoleh rumus cosinus jumlah dua sudut, yaitu:
Contoh 1
1. Hitunglah nilai cosinus sudut di bawah ini menggunakan rumus
cosinus jumlah atau selisih dua sudut!
a. 750
b.150
Jawab:
a. Ingat: 750 = 450 + 300
cos 750 = cos (450 + 300) = cos 450.cos 300 - sin 450. sin 300
= ?
?
?
??
?
2
2
1
??
?
??
?
3
2
1
- ?
?
?
??
?
2
2
1
. ?
?
?
??
?
2
1
cos (a - b) = cos a.cos b + sin a. sin b
cos (a + b) = cos a.cos b - sin a. sin b
MAT. 09. Trigonometri 48
= ?
?
?
??
?
6
4
1
- ?
?
?
??
?
2
4
1
=
4
1 ? 6 ? 2 ?
b. Ingat: 150 = 450 - 300
cos 150 = cos (450 - 300) = cos 450.cos 300 + sin 450. sin 300
= ?
?
?
??
?
2
2
1
??
?
??
?
3
2
1
+ ?
?
?
??
?
2
2
1
. ?
?
?
??
?
2
1
= ?
?
?
??
?
6
4
1
+ ?
?
?
??
?
2
4
1
=
4
1 ? ? 6 ? 2
Contoh 2
Buktikan persamaan trigonometri di bawah ini berlaku, dengan
menggunakan rumus cosinus jumlah atau selisih dua sudut!
a. cos (
2
?
-x) = sin x
b. cos (x + ? ) = - cos x
Jawab:
a. Ingat: cos
2
?
= 0, sin
2
?
= 1
cos (
2
?
-x ) = cos
2
?
.cos x + sin
2
?
. sin x
= 0. cos x + 1. sin x
= – sin x
b. Ingat: cos ? = -1, sin ? = 0
cos (x +? ) = cos x.cos ? . - sin x. sin ?
= cos x (-1) – sin x. 0
= – cos x
MAT. 09. Trigonometri 49
Contoh 3
Hitunglah menggunakan rumus cosinus jumlah atau selisih dua sudut!
a. cos 2?
b. cos 0
Jawab:
a. Ingat: 2? = ? + ?
cos 2? = cos (? + ? ) = cos ? .cos ? - sin ? . sin ?
= cos2 ? – sin2 ?
Karena sin2 ? + cos2 ? = 1, maka:
cos 2? = (1 - sin2 ? ) - sin2 ? = 1 – 2 sin2 ? ; atau
cos 2? = cos2 ? - (1 - cos2 ? ) = 2 cos2 ? - 1
sehingga kita mendapat rumus:
b. Ingat: 0 = ? - ?
cos 0 = cos (? - ? ) = cos ? .cos ? + sin ? . sin ?
= cos2 ? + sin2 ?
= 1 …………..karena sin2 ? + cos2 ? = 1
Menemukan Rumus sin (a ? b)
Diketahui sin ? = cos (900 - ?),
misalkan ? = a + b maka:
Sin (a + b) = cos [900 – (a+b)]
= cos [(900 – a) – b]
= cos (900 – a) cos b + sin (900 – a) sin b
= sin a cos b + cos a sin b
Sehingga diperoleh rumus sinus jumlah dua sudut, yaitu:
cos 2? = cos2 ? – sin2 ? =1 – 2 sin2 ? = 2 cos2 ? - 1
Sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
MAT. 09. Trigonometri 50
Dengan mensubtitusi b = -b pada rumus di atas, diperoleh:
Sin (a +(- b)) = sin a cos (-b) + cos a sin (-b)
Sin (a – b) = sin a cos b + cos a (-sin b) ……….…karena cos (-b) = cos
b dan sin (-b) = -sin b
= sin a cos b - cos a sin b
Sehingga diperoleh rumus sinus selisih dua sudut, yaitu:
Contoh 4
Hitunglah nilai sinus sudut di bawah ini menggunakan rumus cosinus
jumlah atau selisih dua sudut!
a. 750
b.150
Jawab:
a. Ingat: 750 = 450 + 300
sin 750 = sin (450 + 300) = sin 450.cos 300 + cos 450. sin 300
= ?
?
?
??
?
2
2
1
??
?
??
?
3
2
1
+ ?
?
?
??
?
2
2
1
. ?
?
?
??
?
2
1
= ?
?
?
??
?
6
4
1
+ ?
?
?
??
?
2
4
1
=
4
1 ? 6 ? 2 ?
b. Ingat: 150 = 450 - 300
sin 150 = sin (450 - 300) = sin 450.cos 300 - cos 450. sin 300
= ?
?
?
??
?
2
2
1
??
?
??
?
3
2
1
- ?
?
?
??
?
2
2
1
. ?
?
?
??
?
2
1
= ?
?
?
??
?
6
4
1
- ?
?
?
??
?
2
4
1
=
4
1 ? ? 6 ? 2
Sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b
MAT. 09. Trigonometri 51
Contoh 5
Buktikan persamaan trigonometri di bawah ini berlaku, dengan
menggunakan rumus sinus jumlah atau selisih dua sudut!
a. sin (
2
?
-x) = cos x
b. sin (x + ? ) = - cos x
Jawab:
a. Ingat: cos
2
?
= 0, sin
2
?
= 1
sin (
2
?
-x ) = sin
2
?
.cos x - cos
2
?
. sin x
= 1. cos x – 0. sin x
= cos x
b. Ingat: cos ? = -1, sin ? = 0
sin (x +? ) = sin x.cos ? + cos x. sin ?
= sin x (-1) + cos x. 0
= – sin x
Contoh 6
Hitunglah menggunakan rumus sinus jumlah atau selisih dua sudut!
a. sin 2?
b. sin 0
Jawab:
a. Ingat: 2? = ? + ?
sin 2? = sin (? + ? ) = sin ? .cos ? + cos ? . sin ?
= sin ? .cos ? + sin ? . cos ?
= 2 sin ? .cos ?
sehingga kita mendapat rumus:
sin 2? = 2 sin ? .cos ?
MAT. 09. Trigonometri 52
b. Ingat: 0 = ? - ?
sin 0 = sin (? - ? ) = sin ? .cos ? - cos ? . sin ?
= sin ? .cos ? - sin ? . cos ?
= 0
Menentukan Rumus Tan ( a ? b)
Pada bab yang lalu, kita sudah mempelajari bersama rumus jumlah atau
selisih dua sudut untuk sinus dan cosinus. Rumus-rumus tersebut
digunakan kembali untuk mencari rumus tangen ( a ? b), pada proses
berikut.
Tan (a – b) =
cos ( )
sin ( )
a b
a b
?
?
=
a b a b
a b a b
cos cos sin sin
sin cos cos sin
?
?
=
a b
a b a b
a b
a b a b
cos cos
cos cos sin sin
cos cos
sin cos cos sin
?
?
; pembilang dan penyebut dibagi cos
a.cos b
=
a b
a b
a b
a b
b
b
a
a
cos cos
sin sin
cos cos
cos cos
cos
sin
cos
sin
?
?
=
a b
a b
1 tan tan
tan tan
?
?
sehingga kita memperoleh rumus tangen selisih dua sudut, yaitu:
Dengan mengganti b = -b pada rumus di atas, kita akan memperoleh
rumus tangen jumlah dua sudut seperti berikut ini.
tan (a – (-b)) =
1 tan tan ( )
tan tan ( )
a b
a b
? ?
? ?
tan (a – b) =
a b
a b
1 tan tan
tan tan
?
?
MAT. 09. Trigonometri 53
tan (a + b) =
a b
a b
1 tan tan
tan tan
?
?
; karena tan (-a) = tan a dan tan (-b) = tan b.
sehingga kita memperoleh rumus tangen jumlah dua sudut, yaitu:
Contoh 7
Hitunglah nilai tangen sudut di bawah ini menggunakan rumus tangen
jumlah atau selisih dua sudut!
c. 750
d. 150
Jawab:
a. Ingat: 750 = 450 + 300
tan 750 = tan (450 + 300) = 0 0
0 0
1 tan 45 tan 30
tan 45 tan30
?
?
=
3
3
1
1 1.
3
3
1
1
?
?
=
3
3 3
3
3 3
?
?
=
3 3
3 3
?
?
x
3 3
3 3
?
?
=
9 3
(3 3)2
?
?
=
6
6 3
6
3
6
9
? ?
= 2 + 3
tan (a + b) =
a b
a b
1 tan tan
tan tan
?
?
MAT. 09. Trigonometri 54
b. Ingat: 150 = 450 - 300
Tan 150 = tan (450 - 300) = 0 0
0 0
1 tan 45 tan30
tan 45 tan30
?
?
=
3
3
1
1 1.
3
3
1
1
?
?
=
3
3 3
3
3 3
?
?
=
3 3
3 3
?
?
x
3 3
3 3
?
?
=
9 3
(3 3)2
?
?
=
6
6 3
6
3
6
9
? ?
= 2 - 3
Contoh 8
Buktikan persamaan trigonometri di bawah ini berlaku, dengan
menggunakan rumus tangen jumlah atau selisih dua sudut!
a. tan (-x) = - tan x
b.tan (x + ? ) = tan x
Jawab:
a. Ingat: tan 0 = 0, -x = 0 - x
tan (0-x ) =
x
x
1 tan 0 tan
tan 0 tan
0
0
?
?
=
x
x
1 0.tan
0 tan
?
?
= - tan x
MAT. 09. Trigonometri 55
b. Ingat: tan ? = 0,
tan (x +? ) =
?
?
1 tan tan
tan tan
x
x
?
?
=
1 tan .0
tan 0
x
x
?
?
= tan x
Contoh 9
Hitunglah menggunakan rumus tangen jumlah atau selisih dua sudut!
a. tan 2?
b. tan 0
Jawab:
a. Ingat: 2? = ? + ?
tan 2? = tan (? + ? )
=
a a
a a
1 tan tan
tan tan
?
?
=
a
a
1 tan2
2 tan
?
sehingga kita mendapat rumus:
b. Ingat: 0 = ? - ?
tan 0 = tan (? - ? ) =
? ?
? ?
1 tan tan
tan tan
?
?
=
1 tan2?
0
?
; andaikan nilai tan2 ? terdefinisi, maka
= 0
tan 2? =
a
a
1 tan2
2 tan
?
MAT. 09. Trigonometri 56
2) Pengembangan Rumus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut
Dari beberapa rumus pada pembelajaran 1 dapat kita turunkan beberapa
rumus baru diantaranya sebagai berikut:
Dengan menjumlahkan sin (x + y) dan sin (x – y), kita memperoleh:
Sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y
sin (x + y) + sin (x – y) = 2 sin x cos y
Sedangkan apabila sin (x+ y) dikurangi sin (x – y), kita memperoleh:
Sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y
sin (x + y) - sin (x – y) = 2 cos x sin y
Dengan menjumlahkan cos (x + y) dan cos (x – y), kita memperoleh:
cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y
cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y
cos (x + y) + cos (x – y) = 2 cos x cos y
Sedangkan apabila cos (x+ y) dikurangi cos (x – y), kita memperoleh:
cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y
cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y
cos (x + y) - cos (x – y) = -2 sin x sin y
Dari penurunan di atas kita mendapatkan 4 rumus yaitu:
Misalkan:
A = x + y A = x + y
B = x – y B = x – y
A + B = 2x (A – B) = 2y
½ (A + B) = x ½ (A – B) = y
+
-
+
-
+ -
sin (x + y) + sin (x – y) = 2 sin x cos y
sin (x + y) - sin (x – y) = 2 cos x sin y
cos (x + y) + cos (x – y) = 2 cos x cos y
cos (x + y) - cos (x – y) = -2 sin x sin y
MAT. 09. Trigonometri 57
Sehingga keempat rumus tadi dapat dituliskan sebagai berikut:
Contoh 10
Jika x = 1050; y = 150.Tentukan:
a) sin x + sin y b) sin x – sin y
c) cos x + cos y d) cos x – cos y
Jawab:
a) sin 1050 + sin 150 = 2 sin ½ (1050 + 150 ) cos ½ (1050 – 150)
= 2 Sin ½ (1200) cos ½ (900)
= 2 Sin 600 cos 450
= 2 ( 3
2
1
).( 2
2
1
).
= 6
2
1
b) sin 1050 - sin 150 = 2 cos ½ (1050 + 150 ) sin ½ (1050 – 150)
= 2 cos ½ (1200) sin ½ (900)
= 2 cos 600 sin 450
= 2 (
2
1
).( 2
2
1
).
= 2
2
1
c) cos 1050 + cos 150 = 2 cos ½ (1050 + 150 ) cos ½ (1050 – 150)
= 2 cos ½ (1200) cos ½ (900)
= 2 cos 600 cos 450
= 2 (
2
1
).( 2
2
1
).
= 2
2
1
sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B)
sin A - sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A – B)
cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B)
cos A - cos B = -2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B)
MAT. 09. Trigonometri 58
d) cos 1050 - cos 150 = -2 sin ½ (1050 + 150 ) sin ½ (1050 – 150)
= -2 Sin ½ (1200) sin ½ (900)
= -2 Sin 600 sin 450
= -2 ( 3
2
1
).( 2
2
1
).
= - 6
2
1
3) Identitas Trigonometri
Sebelum kita lebih jauh dalam membahas identitas trigonometri, kita ingat
kembali identitas dasar, yaitu:
Sec a =
cosa
1
=
x
r
; Cosec a =
sin a
1
=
y
r
; cotan a =
tan a
1
=
y
x
Atau cotan a =
a
a
sin
cos
Sin2 a + cos2 a = (
r
y
)2 + (
r
x
)2 = 2
2 2
r
y ? x
=
r
r
= 1
1 + tan2 a = 1 + (
x
y
)2 = 2
2 2
x
x ? y
= 2
2
x
r
=(
cosa
1
)2 = Sec2 a
1 + cotan2 a = 1 + (
y
x
)2 = 2
2 2
y
y ? x
= 2
2
y
r
=(
sin a
1
)2 = cosec2 a
Dengan dasar rumus identitas dasar di atas dan rumus-rumus trigonometri
yang dahulu, kita pakai untuk membuktikan identitas trigonometri. Untuk
lebih mempermudah dalam pembuktian identitas trigonometri hendaknya
kita ikuti salah satu dari langkah-langkah berikut ini:
T (x,y)
r
a
MAT. 09. Trigonometri 59
Langkah I:
Turunkan salah satu ruas dari persamaan yang dipandang lebih komplek
menggunakan rumus-rumus yang telah ada sebelumnya, sehingga
menghasilkan bentuk yang sama dengan ruas yang lain.
Langkah II:
Turunkan kedua ruas persamaan secara bersama-sama dan hendaknya
dilakukan dalam tempat terpisah untuk menghindari kekeliruan,
sedemikian hingga nantinya akan memperoleh bentuk yang sama.
Contoh 11
Buktikan identitas trigonometri berikut ini:
a) cos (a + b) cos (a – b) = cos2 a + sin2 b
b) cosec (a + b) =
a b
a b
cotan cotan
cosec ..cosec
?
c) Jika diberikan ?ABC siku-siku di C, berlaku cos A. Cos B = ½, buktikan
bahwa cos (A – B) = 1
Jawab:
a) cos (a + b) cos (a – b) = cos2 a - sin2 b
Dengan menurunkan ruas kiri dari persamaan di atas, didapat;
(cos a. cos b – sin a. sin b). ( cos a. cos b + sin a.sin b)
= (cos a. cos b)2 – (sin a. sin b)2
= cos2a. cos2 b – sin2 a. sin2 b
= cos2 a. (1-sin2b) – (1-cos2 a). sin2 b
= cos2 a - cos2 a. sin2b - sin2b + cos2 a. sin2b
= cos2 a – sin2b. karena sama dengan ruas kanan, maka identitas
trigonometri di atas terbukti.
b) cosec (a + b) =
a b
a b
cotan cotan
cosec ..cosec
?
Dengan menurunkan ruas kanan persamaan trigonometri di atas, kita
memperoleh:
MAT. 09. Trigonometri 60
a b
a b
cotan cotan
cosec ..cosec
?
=
b
b
a
a
a b
sin
cos
sin
cos
sin
1
.
sin
1
?
=
a b
a b b a
a b
sin .sin
cos sin cos sin
sin .sin
1
?
=
cosasin b sin a cosb
1
?
=
sin a cosb cosa sin b
1
?
=
sin ( )
1
a ? b
= cosec (a + b) terbukti
c) Diket: ? ABC siku-siku di C, berlaku cos A. Cos B = ½, buktikan bahwa
cos (A – B) = 1.
Bukti:
A + B + C = 1800, karena ? ABC segitiga siku-siku dengan sudut siku di
titik C, maka A + B = 900.
Cos (A + B) = cos A.cos B – sin A. sin B
Cos 900= ½ - sin A. sin B
a.= ½ - sin A. sin B
sin A. sin B = ½
Sehingga:
Cos (A – B) = cos A.cos B + sin A. sin B
= ½ + ½
= 1. terbukti
4) Persamaan Trigonometri
Menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk sin x = a; cos x = b dan
tan x = c
MAT. 09. Trigonometri 61
Misalkan: sin ? = a; andaikan a suatu bilangan real positif dimana 0 ? a ? 1,
maka sudut ? yang memenuhi ada di kuadran I dan II atau
perputarannya.
Sin x = sin ?
X1 = ? + k. 3600; di mana k bilangan bulat
X2 = (1800-? ) + k. 3600
Contoh 12
Tentukan penyelesaian dari persamaan di bawah ini:
a) Sin x = ½ ; untuk 0< x < 3600 b) Sin 2x = ½ ; untuk 0< x < 3600 Jawab: a) Sin x = ½ Sin x = sin 300 Sehingga: X1 = 300 + k. 3600 x2 = (1800 - 300) + k. 3600 k = 0, maka x1 = 300 x2 = 1500 + k. 3600 k = 1, maka x1 = 3900 (TM) k = 0, maka x2 = 1500 catat: TM= tidak memenuhi k = 1, maka x2 = 5100 (TM) Jadi penyelesaiannya adalah: { 300, 1500} b) Sin 2x = ½ Sin 2x = sin 300 Sehingga: 2X1 = 300 + k. 3600 2x2 = (1800 - 300) + k. 3600 k = 0, maka x1= 300/2= 150 2x2 = 1500 + k. 3600 k = 1, maka x1= 3900/2= 1950 k = 0, maka x2=1500/2= 750 k = 2, maka x1 = 7500/2= 3750 (TM) k =1, maka x2=5100/2= 2550 k =2,makax2=8700/2=4350 (TM) Jadi penyelesaiannya adalah: { 150,750, 1950, 2250} MAT. 09. Trigonometri 62 Misalkan: cos ? = b, andaikan b suatu bilangan real positif dimana 0 ? b? 1, maka sudut ? berada di kuadran I dan IV atau perputarannya. cos x = b cos x = cos ? X1= ? + k. 3600; di mana k bilangan bulat X2 = -? + k. 3600 Contoh13 Tentukan penyelesaian dari persamaan di bawah ini: a) Cos x = ½ ; untuk 0< x < 3600 b) Cos 2x = ½ ; untuk 0< x < 3600 Jawab: a) Cos x = ½ cos x = cos 600 Sehingga: X1 = 600 + k. 3600 x2 = (1800 - 600) + k. 3600 k = 0, maka x1 = 600 x2 = 1200 + k. 3600 k = 1, maka x1 = 4200 (TM) k = 0, maka x2 = 1200 k= 1, maka x2 = 4800 (TM) Jadi penyelesaiannya adalah: { 600, 1200} b) cos 2x = ½ …………(kerjakan sendiri) Misalkan: tan ? = c, andaikan c suatu bilangan real positif, maka sudut ? berada di kuadran I dan III atau perputarannya. tan x = c tan x = tan ? X1 = ? + k. 3600; di mana k bilangan bulat X2 = (1800 + ? ) + k. 3600 = ? + 1800 + k. 3600 sehingga penyelesaiannya sama saja dengan x = ? + k. 1800 MAT. 09. Trigonometri 63 Contoh 14 Tentukan penyelesaian dari persamaan di bawah ini: a) tan x = 1; untuk 0< x < 3600 b) tan 2x = 1; untuk 0< x < 3600 Jawab: a) tan x = 1 tan x = tan 450 Sehingga: X = 450 + k. 1800 k = 0, maka x = 450 k = 1, maka x = 2250 k = 2,maka x = 4050 (TM ) Jadi penyelesaiannya adalah: { 450, 2250} b) tan 2x = 1………….(kerjakan sendiri) Menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk a cos x+b sin x = k cos (x- ? ) Pada rumus di muka telah diberikan rumus nilai cosinus dari selisih dua sudut, yaitu: Cos (x - ? ) = cos x cos ? + sin x sin ? Misalkan: cos ? = a dan sin ? = b, maka cos2? + sin2 ? = a2 + b2 = 1 Sehingga persamaan di atas menjadi; a2 ? b2 Cos (x - ? ) = cos x.a + sin x. b k cos (x - ? ) = a. cos x + b sin x; dimana k = a2 ? b2 dengan tan ? = ? ? cos sin = a b ; di mana letak sudut ? sebagai berikut. ? di kuadran I, jika a>0 dan b>0
? di kuadran II, jika a<0 dan b>0
? di kuadran III, jika a<0 dan b<0 ? di kuadran IV, jika a>0 dan b<0 MAT. 09. Trigonometri 64 misalkan: k cos (x - ? ) = c, maka persamaan di atas menjadi: c = a. cos x + b sin x Contoh 15 Tentukan penyelesaian dari: Cos x + 3 sin x = 1, jika 0< x < 3600! Jawab: k = ?1?2 ? ? 3?2 = 1? 3 = 4 = 2 Tan ? = 1 3 = 3 , maka ? ada di kuadran I karena 3 >0 dan 1>0
Sehingga:
? = 450
Akibatnya persamaan di atas, menjadi:
Cos x + 3 sin x = 1= 2 cos (x - 450)
? 2 cos (x - 450) = 1
? cos (x - 450) = ½
? cos (x – 450) = cos 600
x1 – 450 = 600 + n. 3600; di mana n bilangan bulat.
x1 = 1050 + n. 3600
n = 0, maka x1 = 1050
n = 1, maka x1 = 4650 (tidak mungkin, mengapa?); atau
x1 – 450 = -600 + n. 3600; di mana n bilangan bulat.
x1 = -150 + n. 3600
n = 0, maka x2 = -150 (tidak mungkin, mengapa?)
n = 1, maka x2 = 3450
Himpunan penyelesaiannya adalah: { 1050, 3450}
Jadi penyelesaian bentuk a cos x + b sin x = k cos (x - ?)
adalah penyelesaian dari k cos (x - ? ) = c
MAT. 09. Trigonometri 65
c. Rangkuman 2
1) cos ( a + b ) = cos a cos b – sin a sin b
cos ( a - b ) = cos a cos b + sin a sin b
sin ( a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin ( a - b) = sin a cos b - cos a sin b
2) sin (x + y) + sin (x – y) = 2 sin x cos y
sin (x + y) - sin (x – y) = 2 cos x sin y
cos (x + y) + cos (x – y) = 2 cos x cos y
cos (x + y) - cos (x – y) = -2 sin x sin y.
3) sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B)
sin A - sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A – B)
cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B)
cos A - cos B = -2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B)
4) Untuk menyelesaiakn identitas trigonometri dilakukan dengan langkah
turunkan salah satu ruas dari persamaan yang dipandang lebih komplek
menggunakan rumus-rumus yang telah ada sebelumnya, sehingga
menghasilkan bentuk yang sama dengan ruas yang lain.
5) Penyelesaian bentuk a cos x + b sin x = k cos (x - ? ) adalah penyelesaian
dari k cos (x - ? ) = c.
MAT. 09. Trigonometri 66
d. Tugas 2
1. Hitunglah nilai dari cosinus dari sudut berikut:
a) 22,50
b) 67,50
2. Jika tan ? = n, tentukanlah dari:
a. sin 2?
b. tan ½?
3. Tentukan penyelesaian persamaan trigonometri berikut ini:
a. cos ½x = ½ ; untuk 0 < x < 3600
b. cos x – sin x = 1; untuk 0 < x < 3600
e. Kunci Jawaban Tugas 2
1. a) cos 450 = 2cos2 22,50 – 1
2
2
1
= 2cos2 22,50 – 1
2
2
1
+ 1= 2cos2 22,50
( 2
2
1
+ 1)/2= cos2 22,50
cos2 22,50 =
2
2 2
2
1
4
2 2
2 2
2 2
?
?
?
?
?
b) sin 450 = 1- 2sin2 22,50
2
2
1
= 1- 2sin2 22,50
2sin2 22,50 = 1- 2
2
1
sin222,50 = (1- 2
2
1
)/2
T (3,4)
O (0,0) x
y
MAT. 09. Trigonometri 67
sin2 22,50 =
2
2 2
2
1
4
2 2
2 2
2 2
?
?
?
?
?
2. tan ? = n =
x
y
; sehingga x= 1 dan y = n.
r = 12 ? n2 ? n2 ? 12
sin ? =
2 ? 1
?
n
n
r
y
; cos ? =
1
1
2 ?
?
r n
x
sin 2? = 2 sin ? . cos ? = 2
n2 ? 1
n
.
1
1
n2 ?
=
1
2
n2 ?
n
sin ½ ? =….? Cos ? = 1- 2sin2 ?
1
1
n2 ?
= 1- 2sin2 ?
2 sin2 ? = 1-
1
1
n2 ?
sin2 ? =
2
1
-
2 1
1
n2 ?
? sin ? =
2 n 1
1
-
2
1
2 ?
3. a) cos ½ x = ½ ; 0 ? x ? 3600
cos ½ x = cos 600
½ x = 600
x1 = 1200 + k.3600 x2 = -1200 + k.3600
k=0? x1 = 1200 k=0? x2 = -1200 (TM)
k=1? x1 = 4800(TM/tidak termasuk) k=1? x2 = 2400
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1200,2400}
b) cos x –sin x = 1 ; 0 ? x ? 3600
k = a2 ? b2 ? (1)2 ? (?1)2 ? 1 ? 1 ? 2
tan ? =
a
b
= 1
1
1
? ?
?
? = 1350 (KW IV)
sehingga: k cos (x-? ) = 1
2 cos (x-1350) = 1
cos (x-1350) = 2
2
1
2
1
?
MAT. 09. Trigonometri 68
cos (x-1350) = cos 450
x1-1350 = 450 + k.3600 x1-1350 = -450 + k.3600
x1 = 3600 + k.3600 x1 = 900 + k.3600
untuk k=-1? x1 = 00 k=-1? x1 = 2700
k= 0? x1 = 3600 k= 0? x1 = 900
k=1? x1 = 7200 (TM) k=1? x1 = 4500 (TM)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {00,900, 2700,3600}
f. Tes Formatif
1. Tulislah rumus trigonometri sudut jumlah atau selisih dari soal berikut ini:
a) cos (3a + 2b) dan cos (3a - 2b)
b) sin (4p + 7q) dan sin (4p - 7q)
c) tan (5x + 8y) dan tan (5x - 8y)
2. Tulislah rumus trigonometri sudut ganda dari soal berikut ini:
a) sin 2p, cos 2p dan tan 2p dalam p.
b) sin a, cos a dan tan a dalam ½ a.
c) sin 6x, cos6x dan tan 6x dalam 3x.
3. Hitunglah nilai dari sinus dari sudut berikut:
a) 22,50
b) 67,50
4. Buktikanlah identitas trigonometri berikut ini:
a) sin (a + b + c) = sin a cos b cos c + cos a sin b cos c + cos a cos b sin
c -sin a sin b sin c
b) cos (a + b + c) = cos a cos b cos c -sin a sin b cos c -sin a cos b sin c -
cos a sin b sin c
c) tan (a+ b+ c) =
b c c a a b
a b c a b c
1 tan tan tan tan tan tan
tan tan tan tan tan tan
? ? ?
? ? ?
5. Tentukan penyelesaian persamaan trigonometri berikut ini:
a) cos ½x = ½ ; untuk 0 < x < 3600
b) cos x – sin x = 1; untuk 0 < x < 3600
MAT. 09. Trigonometri 69
g. Kunci Tes Formatif
1. a) cos (3a + 2b) = cos 3a cos2b – sin 3a sin2b
cos (3a - 2b) = cos 3a cos2b + sin 3a sin2b
b) sin (4p + 7q) = sin 4p cos 7q + cos 4p sin 7q
sin (4p - 7q) = sin 4p cos 7q - cos 4p sin 7q
c) tan (5x + 8y) =
x y
x y
1 tan 5 tan 8
tan 5 tan 8
?
?
tan (5x - 8y) =
x y
x y
1 tan 5 tan8
tan5 tan 8
?
?
2. a) sin 2p = 2 sinp cos p, cos 2p = cos2p - sin2p dan tan 2p =
p
p
1 tan 2
2 tan 2
? 2
b) sin a = 2 sin (½p) cos (½p), cos a= cos2 (½p) - sin2(½p), tan a =?
c) sin 6x = 2 sin 3x cos 3x, cos6x = cos2(3x) - sin2(3x), tan 6x = ?.
3. a) cos 450 = 2cos2 22,50 – 1
2
2
1
= 2cos2 22,50 – 1
2
2
1
+ 1= 2cos2 22,50
( 2
2
1
+ 1)/2= cos2 22,50
cos2 22,50 =
2
2 2
2
1
4
2 2
2 2
2 2
?
?
?
?
?
b) sin 450 = 1- 2sin2 22,50
2
2
1
= 1- 2sin2 22,50
2sin2 22,50 = 1- 2
2
1
sin222,50 = (1- 2
2
1
)/2
MAT. 09. Trigonometri 70
sin2 22,50 =
2
2 2
2
1
4
2 2
2 2
2 2
?
?
?
?
?
4. tan ? = n =
x
y
; sehingga x= 1 dan y = n.
r = 12 ? n2 ? n2 ? 12
sin ? =
2 ? 1
?
n
n
r
y
; cos ? =
1
1
2 ?
?
r n
x
sin 2? = 2sin? .
cos ? = 2
n2 ? 1
n
.
1
1
n2 ?
=
1
2
n2 ?
n
sin ½ ? =….? Cos ? = 1- 2sin2 ?
1
1
n2 ?
= 1- 2sin2 ?
2sin2 ? = 1-
1
1
n2 ?
sin2 ? =
2
1
-
2 1
1
n2 ?
? sin ? =
2 n 1
1
-
2
1
2 ?
5. a) cos ½ x = ½ ; 0 ? x ? 3600
cos ½ x = cos 600
½ x = 600
x1 = 1200 + k.3600 x2 = -1200 + k.3600
k=0? x1 = 1200 k=0? x2 = -1200 (TM)
k=1? x1 = 4800(TM/tidak termasuk) k=1? x2 = 2400
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1200,2400}
b) cos x –sin x = 1 ; 0 ? x ? 3600
k = a2 ? b2 ? (1)2 ? (?1)2 ? 1 ? 1 ? 2
tan ? =
a
b
= 1
1
1
? ?
?
MAT. 09. Trigonometri 71
? = 1350 (KW IV)
sehingga: k cos (x-? ) = 1
2 cos (x-1350) = 1
cos (x-1350) = 2
2
1
2
1
?
cos (x-1350) = cos 450
x1-1350 = 450 + k.3600 x1-1350 = -450 + k.3600
x1 = 3600 + k.3600 x1 = 900 + k.3600
untuk k=-1? x1 = 00 k=-1? x1 = 2700
k= 0? x1 = 3600 k= 0? x1 = 900
k=1? x1 = 7200 (TM) k=1? x1 = 4500 (TM)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {00,900, 2700,3600}
MAT. 09. Trigonometri 72
BAB III. EVALUASI
A. Soal Tes Evaluasi
Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan singkat dan jelas!
1. Tentukan nilai sin, cos dan tan dari sudut berikut ini:
a) 1350
b) -600
c) 3900
2. Diketahui suatu segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya ? . sin ? =
p, jika ? sudut tumpul, maka tentukan tan ? dan cos ? !
3. Hitunglah operasi nilai trigonometri sudut, berikut ini.
tan (-450) + sin 1200 + cos 2250 – cos 300
4. Diketahui segitiga ABC seperti gambar di bawah ini.
Tentukan panjang garis tinggi BD dan luas
?ABC!
5. Jika A, B, dan C masing-masing sudut suatu segitiga (bukan segitiga sikusiku),
buktikan bahwa tan A + tan B + tan C=tanA tan B tan C!.
6. Tentukan penyelesaian persamaan trigonometri berikut ini:
a) cos 2x = ½ ; untuk 0 < x < 3600
b) 2cos x – sin x = 3 ; untuk 0 < x < 3600
10
A
5
600 B
C
15
D
MAT. 09. Trigonometri 73
B. Kunci Jawaban Tes Evaluasi
1. a) sin 1350 = sin (1800-450)
= sin 450
= 2
2
1
b) sin –600 = -sin 600
= 3
2
1
?
c) sin 3900 = sin (30+1.360)
= sin 30
=
2
1
2. sin ? = p =
r
y
, ? sudut tumpul? ? ?
?
? ?
2
(kuadran II)
sehingga nilai tan ? negatif. x = 12 ? p2 ? 1 ? p2
maka: tan ? =
1 p2
p
?
?
; cos ? = 1 ? p2
3. tan (-450) + sin 1200 + cos 2250 – cos 300
= -tan 450 + sin 600 - cos 450 – cos 300
= -1 + 3
2
1
- 2
2
1
- 3
2
1
= -1 - 2
2
1
4. Cara I:
Dengan menggunakan teorema phytagoras:
BD2 = AB2 – AD2
BD2 = 102 – 52 = 100 – 25 =75
BD = 75 ? 5 3
Luas segitiga = ½ AC.BD = ½.20. 5 3
= 50 3 satuan luas.
10
A
5
600 B
C
15
D
MAT. 09. Trigonometri 74
Cara II: menggunakan perbandingan trigonometri
Sin 600 =
10
BD
AB
BD
? ? BD = Sin 600. 10 = 3
2
1
.10 = 5 3
? A = diapit oleh sisi AB dan AC, maka rumus luas segitiga yang dapat kita
pakai adalah:
Luas Segitiga ABC = ½ AB.AC sin ? A
= ½ 10.20 sin 600
= ½ 10.20. 3
2
1
= 50 3 satuan luas.
5. A, B dan C adalah sudut-sudut suatu segitiga.
Ingat: jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 1800.
Sehingga berlaku:
A + B + C = 1800
tan C = tan (1800 – (A+B))
tan C = -tan (A+B)
tan C = ? ?
?
?
? ??
?
?
?
?
A B
A B
1 tan tan
tan tan
tan C =
tan tan 1
tan tan
?
?
A B
A B
? tan A + tan B = (tan A tan B –1)tan C
? tan A + tan B = tan A tan B tan C –tan C
? tan A + tan B+ tan C = tan A tan B tan C
terbukti.
6. a) cos 2 x = ½ ; 0 ? x ? 3600
cos 2 x = cos 600
2x = 600
x1 = 300 + k.3600 x2 = -300 + k.3600
k=0? x1 = 300 k =0? x2 = -300 (TM)
k=1? x1 = 3900(TM/tidak termasuk) k =1? x2 = 3300
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {300,3300}
MAT. 09. Trigonometri 75
b) 2cos x –sin x = 3 ; 0 ? x ? 3600
k = a2 ? b2 ? (2)2 ? (?1)2 ? 2 ? 1 ? 3
tan ? =
a
b
=
2
1
2
1
? ?
?
? =[3600 - arc tan(
2
1
)] (KW IV)
sehingga: k cos (x-? ) = 3
3 cos (x-[3600 - arc tan(
2
1
)]) = 3
cos (x-[3600 - arc tan(
2
1
)]) = 1
cos (x-[3600 - arc tan(
2
1
)]) = cos 900
x1-[3600 - arc tan(
2
1
)]= 900 + k.3600……………dan seterusnya.
MAT. 09. Trigonometri 76
BAB IV. PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes
praktek untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda
dinyatakan memenuhi syarat kelulusan dari hasil evaluasi dalam modul ini,
maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.
Mintalah pada guru untuk uji kompetensi dengan sistem penilaian yang
dilakukan langsung oleh pihak industri atau asosiasi yang berkompeten
apabila anda telah menyelesaikan seluruh evaluasi dari setiap modul, maka
hasil yang berupa nilai dari guru atau berupa portofolio dapat dijadikan bahan
verifikasi oleh pihak industri atau asosiasi profesi. Kemudian selanjutnya hasil
tersebut dapat dijadikan sebagai penentu standar pemenuhan kompetensi
dan bila memenuhi syarat anda berhak mendapatkan sertifikat kompetensi
yang dikeluarkan oleh dunia industri atau asosiasi profesi.
MAT. 09. Trigonometri 77
DAFTAR PUSTAKA
Kanginan, Marthen dan Kustendi, T. 2001. MATEMATIKA untuk SMU kelas II
jilid 2A. Bandung: Grafindo Media Pratama.
Purcel, E.J. dan D. Verberg. 1986. Kalkulus dan Geonetri Analitik I.
Terjemahan I.N. Susila, B. Kartasasmita dan rawuh. Jakarta: Erlangga.
Suherman, Erman dkk. 2003. Strategi Pembelajaran ontemporer. Bandung:
JICA-IMSTEP.
Sembiring, Suwah. 1996. Kumpulan soal dan pembahasan UMPTN 1992-1996
Rayon A, B, C. Bandung: Ganesha Operation.